Multiplicação e divisão de radicais

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO: 
√a * √b = √(a*b)
√4*√9 = √(4*9) = √36 = 6

para radicais de um mesmo índice, é só multiplicar seus radicandos.Para a divisão, é só dividir:
√a / √b = √(a/b)
√8 / √2 = √(8/2) = √4 = 2

Para radicais de índices diferentes:
É só tirar o MMC dos índices:
ex:
³√7 * √8 = 
MMC (3,2) = 6
raiz sexta(7² * 8³)
Pra dividir é a mesma coisa:
√3 / ³√5² = raiz sexta(3³ / 5^4)
divide o índice do mmc pelo índice da raiz e joga no índice do radicando(cuidado se tiver um expoente no radicando)
ver regras de potenciação!
(5³)² = 5^6
(3¹²)³ = 3^15

Adição e subtração de radicais

1º Caso: Ocorre quando todos as raízes já se encontram com o mesmo radicando. Exs.:

2º Caso: Ocorre quando as raízes não são semelhantes, tendo assim, que serem todas reduzidas ao mesmo índice. Exs:

OBS: É importante saber, que, para resolver esse tipo de cálculo, a pessoa deve saber como reduzir raízes ao mesmo índice.

Radicais semelhantes

Radicais Semelhantes

Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando

Exemplos de radicais semelhantes

a) 7√5 e -2√5
b) 5³√2 e 4³√2

Exemplos de radicais não semelhantes

a) 5√6 e 2√3
b) 4³√7 e 5√7

Redução de radicais ao mesmo índice

veja abaixo um exemplo de como reduzir radicais ao mesmo índice:

 veja o quadro abaixo mostrando melhor como se acha o resultado final:

Comparação de radicais

Introdução de um fator no radicando

√5² • 7 = 5√7

³√3 • 7³ = 7³√3

Podemos dizer:

5√7 = √5² • 7

7³√3 = ³√3 • 7³

Daí, entendemos que, para introduzir um fator externo no radicando, devemos escrevê-lo com um expoente igual ao produto do índice do radical pelo seu expoente.

Exemplos:

2√7 = √2² • 7 = √28

0,1x² ³√y² = ³√(0,1)³ • x6• y²

Simplificação de radicais

primeiro vc tem que fatora.
A) 3√5 +√20
veja que assim não da pra simplificar,
então vamos fatorar o 20.
20/2 =10
10/2=5
5/5=1
temos que 20=2² *5, ok!
3√5 +√2²*5=?
*propriedade de radical:quando existe um numero dentro
do radical que tem o expoente igual ao indice, podemos 
extailo do radical.
veja:
3√5 +2√5=?
veja que estamos trabalhanda com √5, então ´podemos somar:
3√5 +2√5=5√5

B) √2 +√32=?
mesmo processo:
fatorar, extrair numero com expoente igual ao indice e
por fim soma se forem iguais as raizes.
√2 +√32=?
32/2=16
16/2=8
8/2=4
4/2=2
2/2=1
32=2² * 2² * 2 ou 2^5 (^)elevado!
√2 + √2² * 2² *2=?
agora temos dois numeros com expoente igual ao indice,
logo ambos vão sair de dentro do radical.
√2+ 4√2=5√2

C)√75 -√12 +√27=?
fatorando:
# 75/3=25
25/5=5
5/5=1
75=5²*3
# 12/2=6
6/2=3
3/3=1
12=2²*3

# 27/3=9
9/3=3
3/3=1
9=3²*3 ou 3³
agora temos:
(√5²*3) -(2√2²*3) +(√3²*3)=?
extraindo os numeros que tem expoente igual ao indice:
5√3 -(2*2√3)+3√3=?
(5√3 -4√3 )+3√3=?
resolvendo asubtração temos:
√3 +3√3= 4√3

Propriedades dos radicais

As propriedades dos radicais, são utilizadas para auxiliar na resolução de uma operação com raiz quadrada. São elas:

" Quando o expoente é igual ao índice se corta um com o outro". porque?! veja os exemplos:

"essa propriedade ajuda a simplificação da expressão", porque?! veja os exemplos:

" esse tipo de multiplicação ou divisão só pode acontecer com radicais de índices iguais". Veja osexemplos:

"quando há uma raiz dentro da outra, é possível transforma-las em uma só". como? através da multiplicação. veja os exemplos:

Determinação da raiz de um número real

1º caso: a ≥ 0 e o índice n é um número inteiro positivo, diferente de 1

Exemplos:

√16 = 4  ↔ 4² = 16
4√81 = 3  ↔ 34 = 81
5√32 = 2  ↔ 25 = 32

2º caso: a < 0 e o índice n é um número inteiro positivo ímpar, diferente de 1

Exemplos:


3√-27 = - 3

3√-1000 = - 10


3º caso: a < 0 e o índice n é um número inteiro positivo par

√-4 não se define em R, pois nenhum número real elevado ao quadrado é igual a -4

4√-64 não se define em R, pois nenhum número real elevado à quarta potência é igual a -64  

Raiz de um número real

A raiz de um número deve ser encontrada pelo processo de decomposição. Funciona assim:

Divida o número cuja raiz quer encontrar pelos menores divisores possíveis, até que encontre "1".

Exemplo:

64:

64 | 2
32 | 2
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1

Depois você monta os números da coluna dos divisores (direita) como multiplicação:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Esse número equivale a quanto em potência?

2 multiplicado 6 vezes por ele mesmo é igual a 2 elevado à sexta potência.

Devemos substituir o número pelo seu elevado a potência. Depois dividimos a potência que encontramos por 2. Cancelamos o símbolo da raiz quadrada e encontramos a solução!

6/2 = 3
2 elevado a 3 = 8

Então, a raiz quadrada de 64 é oito!

Potência de um número real com expoente inteiro

• O expoente é um número inteiro maior que 1

2 4 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16

(-1/2) 2 = (-1/2) • (-1/2) = 1/4

(-0,5)  3 = (-0,5) • (-0,5) • (-0,5) = -0,125

• O expoente é 1

7 1 = 7 

(-3/5) 1 = -3/5

• O expoente é 0, com base não-nula

5 0 = 1 

(-8/9) 0 = 1

• O expoente é um número inteiro negativo, com base não-nula

5 -1 = 1/5 

(- 7) -2 = (-1/7) 2 = 1/49

(- 3/4) -1 = -4/3

(- 2/3) -3 = (-3/2) 3 = -27/8