Equações Biquadradas

Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. 

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada. 

y⁴ – 10y² + 9 = 0 → equação biquadrada 

(y²)² – 10y² + 9 = 0 → também pode ser escrita assim. 

Substituindo variáveis: y² = x, isso significa que onde for y² iremos colocar x. 

x² – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x`` 

a = 1    b = -10     c = 9 

∆ = b² – 4ac 
∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9 
∆ = 100 – 36 
∆ = 64 

x = - b ± √∆             2a 

x = -(-10) ± √64 
             2 . 1 

x = 10 ± 8 
           2 

x’ = 9

x” = 1 

Essas são as raízes da equação x² – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y⁴– 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y² = x. 

Para x = 9 
y² = x 
y² = 9 
y = √9 
y = ± 3 

Para x = 1 
y² = x 
y² = 1 
y = √1 
y = ±1 

Portanto, a solução da equação biquadrada será: 

S = {-3, -1, 1, 3}.

Relações entre Coeficientes e Raízes

Raízes de uma Equação do 2° grau

Abaixo temos as raízes de uma equação do segundo grau genérica:

Como já visto em outra página deste site, só existirão raízes reais para a equação, desde que Δ ≥ 0, pois não existe raiz quadrada real de um número negativo.

Soma das Raízes de Equações do 2° grau

Sendo x₁ e x₂ raízes de uma equação como definido acima, temos que a soma destas raízes será:

Logo a soma das raízes será dada por:

Produto das Raízes de Equações do 2° grau

Assim como no caso da soma, o produto das raízes x₁ e x₂ será:

Sabemos que Δ = b² -4ac. Substituindo-o na equação temos:

Portanto o produto das raízes será dado por:

Construção de Equações do 2° grau a partir de suas Raízes

Através da fórmula geral de resolução, também conhecida como fórmula de Bhaskara, partimos de uma equação e chegamos às suas raízes. Agora, com base nas relações de Girard, veremos como a partir das raízes, chegarmos à equação.

A forma reduzida deste tipo de equação é ax² + bx + c = 0. Realizando a divisão de ambos os membros por atemos:

Como supracitado nesta página:

E:

Chamemos de S a soma das raízes ( S = x₁ + x₂ ) e de P o seu produto ( P = x₁ . x₂ ). Substituindo na equação temos:

Portanto a equação x² - Sx + P = 0, onde os coeficientes S e P representam respectivamente a soma e o produtodas raízes, nos permite reconstruir a equação que possui estas raízes.

Exemplo

Para a fixação dos conceitos, tomemos uma equação, identifiquemos as suas raízes e a partir delas, através das relações de Girard cheguemos à equação novamente.

Parta da equação do segundo grau x² - 5x - 24 = 0, encontre as suas raízes e a partir delas reconstrua a equação original.

Em primeiro lugar vamos encontrar as raízes da equação x₁ e x₂:

Note que pudemos encontrar duas raízes reais e diferentes para equação, justamente porque Δ > 0. Veja que nesta equação o valor de Δ é 121.

Agora que já conhecemos as suas raízes, através das relações de Girard iremos reconstruir a equação original.

Para a soma das raízes temos:

Para o produto das raízes temos:

Reconstruindo temos:

Portanto partimos da equação x² - 5x - 24 = 0, encontramos as suas raízes reais x₁ = 8 e x₂ = -3 e a partir da soma e do produto delas, reconstruímos a equação original.

Equações Literais

As equações literais do 2º grau são conhecidas por possuírem os coeficientes representados por letras. Esse modelo de equação é utilizado no intuito de aprimorar o desenvolvimento da expressão de Bhaskara, dado os coeficientes numéricos das equações de 2º grau. Dessa forma, ao iniciar esse conteúdo, trabalhe a resolução desse modelo de equação, lembrando que uma equação literal possui como solução uma relação de dependência entre a incógnita e o coeficiente literal.

Apresente exemplos de equações literais do 2º grau e os coeficientes relacionados à incógnita da equação. Veja:

x² – 7ax + 10a² = 0 (a > 0)
Coeficientes:
a = 1
b = –7a
c = 10a²

x² – (m + 3)x + 3m = 0 (m > 3)
Coeficientes:
a = 1
b = m + 3
c = 3m

x² + 8mx = 0
Coeficientes:
a = 1
b = 8m
c = 0

px² – 4x + 4px = 0 (p ≠ 0)
Coeficientes:
a = p
b = –4x
c = 4p

Apresente modelos de equações literais resolvidas utilizando o método de Bhaskara para as equações completas e os métodos da fatoração para as incompletas.

Incompleta

x² + 8mx = 0 (aplicar fator comum em evidência)
x * (x + 8m) = 0

x’ = 0

x + 8m = 0
x’’ = –8m

Conjunto Solução: {x’ = 0 e x’’ = –8m}

Completa

x² – 3ax + 2a² = 0 (a > 0)

a = 1, b = –3a e c = 2a²

∆ = b² – 4ac
∆ = (–3a)² – 4 * 1 * 2a²
∆ = 9a² – 8a²
∆ = a²

Conjunto Solução: {x’ = 2a e x’’ = a}

Resolução de equações completas do 2° grau (2°parte)

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS



Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau


1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)

Exemplos:

1) x² - 25 = 0
    x² = 25
    x = √25
    x = 5
logo V= (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0
    2x² = 18
     x² = 18/2
     x² = 9
     x = √9
     x = 3
logo V= (-3 e +3)

3) 7x² - 14 = 0
    7x² = 14
      x² = 14/7
      x² = 2
      x = √2
logo V = (-√2 e +√2)

4) x²+ 25 = 0
    x² = -25
    x = √-25

obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25


2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos

1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5

logo V= (0 e 5)

2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3

logo V= (0 e 10/3)

Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.

Resolução de equações completas do 2° grau (1°parte)

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

DEFINIÇÃO

Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma:

ax² + bx + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado

x é a incógnita

a,b, e c números reais, chamados de coeficientes


Equação Completa do segundo grau



Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5

2) 3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2

3)  x² -7 x + 10 = 0, onde a = 1, b = -7 e c = 10

4) 5x² - x -3 = 0, onde a = 5, b = -1 e c = -3



Resolução de equações completas do 2° grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax² + bx + c= 0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

Δ = b²- 4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:

1) Δ > 0 , a equação te duas raízes reais e diferentes.

2)  Δ = 0, a equação tem uma raiz 

3)  Δ < 0 , a equação não tem raízes reais 

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1) Identificar os coeficientes: a = 1, b = -5, c = 6

2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.

3) Calcular Δ = (-5)² -4×1×6 = 25-24 = 1 

4) Escrever a fórmula de Bhaskara:













EXEMPLOS

Equação do 2º Grau

ma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:




1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (?)
? = b² – 4 * a * c
? = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
? = 4 + 12
? = 16

2º passo


Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.


Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16

? = b² – 4 * a * c
? = 8² – 4 * 1 * 16
? = 64 – 64
? = 0

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.


Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

? = b² – 4 * a * c
? = 6² – 4 * 10 * 10
? = 36 – 400
? = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é igual ou menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.
 

Multiplicação e divisão de radicais

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO: 
√a * √b = √(a*b)
√4*√9 = √(4*9) = √36 = 6

para radicais de um mesmo índice, é só multiplicar seus radicandos.Para a divisão, é só dividir:
√a / √b = √(a/b)
√8 / √2 = √(8/2) = √4 = 2

Para radicais de índices diferentes:
É só tirar o MMC dos índices:
ex:
³√7 * √8 = 
MMC (3,2) = 6
raiz sexta(7² * 8³)
Pra dividir é a mesma coisa:
√3 / ³√5² = raiz sexta(3³ / 5^4)
divide o índice do mmc pelo índice da raiz e joga no índice do radicando(cuidado se tiver um expoente no radicando)
ver regras de potenciação!
(5³)² = 5^6
(3¹²)³ = 3^15

Adição e subtração de radicais

1º Caso: Ocorre quando todos as raízes já se encontram com o mesmo radicando. Exs.:

2º Caso: Ocorre quando as raízes não são semelhantes, tendo assim, que serem todas reduzidas ao mesmo índice. Exs:

OBS: É importante saber, que, para resolver esse tipo de cálculo, a pessoa deve saber como reduzir raízes ao mesmo índice.